使等式1+2*3+3*3^2+…+n*3^n-1=3^n*(na-b)+c

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/01 21:16:38
对一切正整数都成立的a,b,c的值是

S=1+2*3+3*3^2+4*3^3+……+n*3^(n-1)
用错位相减法
S=1+2*3+3*3^2+4*3^3+……+n*3^(n-1)
3S=3+2*3^2+3*3^3+....+n*3^n

相减

2s=n*3^n-1-(3+3^2+...+3^(n-1))
=n*3^n-1-(3^n-3)/2
S=n*3^n/2-1/2-(3^n-3)/4=3^n*(n/2-1/4)+1/4

现在：S=3^n*(na-b)+c
a=1/2 b=1/4 c=1/4

S=1+2*3+3*3^2+…+n*3^(n-1)
所以3S=3+2*3^2+3*3^3+…+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
S-3S=1+3^1+3^2+……+3^(n-1)-n*3^n
=3^0+3^1+3^2+……+3^(n-1)-n*3^n
=3^0*(3^n-1)/(3-1)-n*3^n
=(1/2)*3^n-1/2-n*3^n
=(1/2-n)*3^n-1/2
所以S=[(1/2-n)*3^n-1/2]/(-2)=3^n*(n/2-1/4)+1/4=3^n*(na-b)+c
所以a=1/2,b=1/4,c=1/4
不是正整数

既然对一切正整数都成立
n=1. 3*(a-b)+c=1
n=2,3^2*(2a-b)+c=7
n=3,3^3*(3a-b)+c=34
=>
3a-3b+c=1 ①
18a-9b+c=7 ②
81a-27b+c=34 ③
①-②：15a-6b=6 ④
③-①：78a-18b=33 ⑤
⑤-④×3：a=15/33

1+2*3+3*3^2+…+n*3^n-1 这是个等差和等比混合的数 所以你可以运回逐项相消法就行计算 就是乘以个公比后相减 应该会的吧